DILATACION DEL TIEMPO DE RELOJES EN MOVIMIENTO

Publicado pornavasguillermoPublicado en Relatividad

La divulgación científica suele explicar el efecto relativista de la «dilatación del tiempo» afirmando que para un reloj en movimiento el tiempo transcurre más lentamente. Esto supone una simplificación que da lugar a equívocos.

En el siguiente dibujo animado mostramos una representación de lo que se quiere decir con la mencionada simplificación. El reloj B (en rojo) se mueve al 80% de la velocidad de la luz ({\frac {V}{c}=0,8}) con respecto al reloj A (en verde). Así, cuando recorre una distancia de 80 año-luz el reloj B marca 60 años mientras que el reloj verde registra 100 años ({t_{reloj A}=\frac {80c}{0,8c}=100}) .

Reloj B (en rojo) considerado móvil respecto a reloj A (verde) fijo

Quizá, la primera imprecisión sea afirmar que es uno de los relojes el que se mueve, y el otro es el que está en reposo, pues B puede afirmar, en pie de igualdad con A, que es A el que se mueve hacia la izquierda. Y en este caso tendríamos el siguiente comportamiento de los relojes:

El reloj A (verde) es el que se considera que se mueve respecto a B (rojo) fijo y su tiempo transcurre más lentamente

Lo que se muestra ahora es que el reloj A es el que marca el tiempo más lentamente que el reloj B: {t_{reloj B}=100} años frente a {t_{reloj A}=60} años.

Pregunta, ¿Hay contradicción en estos dos resultados? Veremos que dando detalles que se suelen obviar, no existe ninguna contradicción. En realidad, corresponden a dos tipos de observaciones o experimentos distintos. Volvamos al primer ejemplo, cuando decimos que el tiempo del reloj B es menor que el del reloj A, estamos comparando el tiempo de un reloj con el de dos relojes separados que están sincronizados y en reposo relativo, según se muestra en el dibujo animado:

Reloj B móvil comparado con dos relojes A sincronizados fijos

Nota: para comparar los tiempos finales bastan dos relojes fijos situados en los extremos, pero para visualizar que el tiempo del reloj en movimiento marcha más lentamente a lo largo del recorrido, tal como se ve en la animación, se necesita una red de observadores con relojes sincronizados situados a lo largo del recorrido que permita hacer la comparación de forma continua.

En realidad, esta representación es una proyección sobre el eje espacial de lo que sucede en el espaciotiempo. Desplegando el tiempo, las trayectorias que sigue cada reloj en el espaciotiempo es lo que se muestra en la siguiente gráfica:

Relojes en el espaciotiempo: reloj B comparado con dos A. Para el sistema de referencia A el suceso E’ es el simultáneo de E

Para referirnos a los relojes A de la gráfica utilizaremos un subíndice para indicar la posición que ocupan, así el reloj que se encuentra en x=d lo designaremos por {A_{d}} , aunque para el que se encuentra en el origen x=0, que es el propio reloj A (reloj primario o guía de la sincronización), lo vamos a seguir designando sin subíndice. Y los tiempos que marcan los relojes se designan, por ejemplo, por {t_{A_{d}}(E)}, indicando entre paréntesis el «evento» cuyo tiempo mide. Con estas designaciones lo que se está comparando es:

{t_{B}(E)-t_{B}(O)<t_{A_{d}}(E)-t_{A}(O)}

Donde: 1) {t_{B}(O)} es el tiempo del reloj {B} en el evento {O} (cuando el reloj {A} y {B} coinciden); 2) {t_{B}(E)} es el tiempo del reloj {B} en el evento {E} (cuando {A_{d}} y {B} coinciden). Para que la fórmula anterior tenga sentido, {A} y {A_{d}} tienen que estar sincronizados, y en concreto {t_{A}(O)=t_{A_{d}}(O')} siendo {O'} el suceso simultáneo a {O} para el sistema de referencia de los relojes {A}.

Si hacemos {t_{B}(O)=0} y {t_{A}(O)=0}, la ecuación queda reducida a:

{t_{B}(E)<t_{A_{d}}(E)}

En el dibujo hemos marcado, sobre la línea de universo del reloj {A}, el suceso {E'} que es simultáneo al suceso {E} sobre la línea de universo del reloj {A_{d}} para el sistema de referencia en el que los relojes {A_{x}} se encuentran en reposo relativo. El hecho de que sean simultáneos significa que {t_{A}(E')=t_{A_{d}}(E)}. Por tanto, la ecuación se puede reducir a una ecuación donde sólo intervienen los tiempos de los relojes iniciales (el {A} y el {B}):

{t_{B}(E)<t_{A}(E')}

Sin embargo, si consideramos la simultaneidad en el sistema de referencia de 𝐵, y comparamos el tiempo del reloj de 𝐴 contra dos relojes de 𝐵, entonces el reloj que marcha más lento es 𝐴. Las líneas de simultaneidad para el sistema de referencia del reloj 𝐵 son paralelas al eje espacial X que forma un ángulo {\alpha} con la horizontal (igual que el ángulo {\alpha} que forma la línea de universo del reloj {B} con la vertical, {\tan {\alpha}=\frac {V}{c}})

El reloj A comparado con dos relojes B. Para B, el suceso E» es el simultáneo de E.

En este caso la relación que se tiene es:

{t_{A}(E'')-t_{A}(O)<t_{B_{d'}}(E'')-t_{B}(O)}

donde {t_{B_{d'}}} es el reloj sincronizado con {B} situado en X=d’ (en el pdf se calcula que d’=-60 año-luz) y {E''} es el suceso situado sobre la línea de mundo del reloj {A} que es simultáneo a {E} para el reloj {B}. Si como antes utilizamos el hecho de que {t_{A}(O)=t_{B}(O)=0} la ecuación queda reducida a:

{t_{A}(E'')<t_{B_{d'}}(E'')}

Al ser {E''} simultáneo a {E} para los relojes {B}, se tiene {t_{B_{d'}}(E'')=t_{B}(E)} quedando la comparación entre los dos relojes

{t_{A}(E'')<t_{B}(E)}

Pero si, simplificando más todavía, no se indican los sucesos, utilizamos la receta de que {t_{B}<t_{A}} porque es el reloj 𝐵 el que se mueve respecto a 𝐴, y que {t_{A}<t_{B}} porque es el reloj 𝐴 el que se mueve respecto a 𝐵, resultan relaciones confusas y paradójicas (en el sentido fuerte de contradictoria). Es decir, que la confusión es resultado de la simplificación.

Vemos en este dibujo animado la representación conjunta de la dilatación según la simultaneidad:

Representación conjunta de las dilataciones según la simultaneidad

Como resumen, en relatividad «qué se mide depende de cómo se mide». La lectura de un intervalo de tiempo medido en un reloj es menor que la lectura de un intervalo medido como diferencia de los tiempos de dos relojes distantes que están sincronizados. Expresado mediante una fórmula

{\frac {\Delta \tau_{B}(OE)}{\Delta t_{coordenado A}(OE)}=\sqrt {1-(\frac {V}{c})^2}}

O bien, como se explica en el archivo pdf descargable, también se puede expresar como relación entre tiempos propios de ambos relojes:

{({\frac {\Delta \tau_{B}(OE)}{\Delta \tau_{A}(OE')})}_{simultaneidad A}=\sqrt {1-(\frac {V}{c})^2}}

donde se ha añadido el indicativo de «simultaneidad según {A}» para recordar que el suceso {E} es simultáneo a {E'} según {A}.

La última fórmula se puede interpretar como: «al comparar dos intervalos de tiempo propio de relojes en movimiento es mayor el del reloj utilizado para fijar la simultaneidad». Así, si es {B} el utilizado para fijar la simultaneidad se tiene:

{({\frac {\Delta \tau_{B}(OE)}{\Delta \tau_{A}(OE'')})}_{simultaneidad B}=\frac {1}{\sqrt {1-(\frac {V}{c})^2}}}

La receta completa y detallada para comparar el tiempo de relojes en movimiento sería: “Dado dos relojes, {A} y {B}, en movimiento relativo uniforme {V_{AB}=V}, los intervalos de tiempo (propio) que registran {A} y {B} son tales que:

{\Delta \tau_{A}(OE'')<\Delta \tau_{B}(OE)<\Delta \tau_{A}(OE')}

donde {E} es un suceso genérico de la línea de mundo del reloj {B}, {E'} y {E''} son sucesos sobre la línea de mundo del reloj {A} que son simultáneos a {E} para el reloj {A} y para el reloj {B}, respectivamente, siendo {O} el suceso donde coinciden ambos relojes”.

Si en la ecuación anterior nos fijamos en la primera desigualdad se obtiene que el reloj {A} marcha más lentamente, y si nos fijamos en la segunda desigualdad se obtiene que es el reloj {B} el que marcha más lento. Ambos efectos son reales y observarlo es factible experimentalmente.

Además, se cumple:

{\Delta \tau_{B}(OE)=\sqrt {\Delta \tau_{A}(OE')\Delta \tau_{A}(OE'')}=\sqrt {1-(\frac {V}{c})^2}\ast \Delta \tau_{A}(OE')}

El documento completo se puede descargar aquí, e incluye algún detalle no recogido en esta página.

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Un comentario en “DILATACION DEL TIEMPO DE RELOJES EN MOVIMIENTO”

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